Hello~大家好，数学是非常重要的一门学科，也是很多专业的基本课程，所以同学们需要掌握其中的知识，今天学姐为大家简单的介绍数学课中的微积分方向场和数值方法基本概念。海师帮专注辅导国内外留学生在学习中遇到的各种问题。
创建方向字段
方向场(也称为斜率场)对于研究一阶微分方程很有用。特别地，我们考虑一阶微分方程的形式
y′=f(x,y)。
这种类型的微分方程的一个应用例子出现在牛顿冷却定律中，我们将在本章后面明确求解。首先，让我们为微分方程创建一个方向场
T′(t)=−0.4(T−72)。
这里T(t)表示对象在某一时间的温度(华氏温度)t，环境温度为72F。数字8.2.一显示了该方程的方向字段。
方向场背后的思想是这样一个事实，即在给定点计算的函数的导数是该函数在同一点的图的切线的斜率。我们可以为其创建方向场的微分方程的其他示例包括
y′=3x+2y−4(8.2.3)
y′=x2−y2(8.2.4)
y′=2x+4y−2.(8.2.5)
为了创建方向场，我们从第一个方程开始: y′=3x+2y−4 。我们让 (x0,y0) 可以是任何有序对，我们把这些数字代入微分方程的右边。例如，如果我们选择 x=1 和 y=2 ，代入微分方程的右边，得到
y'=3x+2y−4=3(1)+2(2)−4=3.
这告诉我们如果微分方程的解 y′=3x+2y−4 穿过这个点 (1,2) ，则该点处解的斜率必须等于3。为了开始创建方向场，我们在该点放置一个短线段 (1,2) 有坡度 3 。在函数的定义域中，我们可以对任何一点都这样做 f(x,y)=3x+2y−4, 它由所有有序对组成 (x,y) 在 R2 。因此，笛卡尔平面上的任何点都有一个与之相关的斜率，假设微分方程的解通过该点。
使用方向字段
要使用方向场，我们从选择场中的任意一点开始。那一点的线段就像一个路标，告诉我们从那里往哪个方向走。例如，如果微分方程的解通过该点 (0,1), 那么通过该点的解的斜率由下式给出 y′=3(0)+2(1)−4=−2. 现在让 x 略微增加，对说 x=0.1 。利用线性近似的方法，给出了一个近似计算公式 y 为 x=0.1. 特别是，
L(x)=y0+f'(x0)(x−x0)=1−2(x0−0)=1−2x0.(8.2.6)
取代 x0=0.1 到…里面 L(x) 给出一个近似值 y 的价值 0.8 。
此时，解的斜率发生变化(再次根据微分方程)。我们可以继续前进，当我们向右迈出一小步时，重新计算解决方案的斜率，并观察解决方案的行为。
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